YouTube tiene un nuevo API (Application Programming Interface o interfaz de programación de aplicaciones) para insertar videos.
Con este API sólo necesitan tener el ID del video.

El código
Este código utiliza un IFrame (Inline Frame o marco incorporado) que es un elemento HTML que permite insertar o incrustar un documento HTML dentro de un documento HTML principal.

<iframe class="youtube-player" type="text/html" width="640" height="385" src="http://www.youtube.com/embed/VIDEO_ID" frameborder="0">
</iframe>

En la misma URL del video podemos obtener la ID.
Por ejemplo tenemos esta URL:

http://www.youtube.com/watch?v=KHgL70E8WAc

El ID del video es el valor que tenemos despues de v= y el mismo que yo he marcado con rojo y negrillas: KHgL70E8WAc

Resultado final

<iframe class="youtube-player" type="text/html" width="640" height="385" src="http://www.youtube.com/embed/KHgL70E8WAc" frameborder="0">
</iframe>

Y ya insertado el código HTML tenemos:



Nota: Podemos cambiar el tamaño modificando el valor numérico de width y heigh.